По идее, стоит сообщить о смене адреса в ветдепартамент и ваш муниципалитет

Вот, например, была история (но там, видимо, и со сменой муниципалитета): https://t.me/cyanimals/98639

По евросправке, которую вам выдали для Кипра в Грузии, можно в течение 4 месяцев перевозить животное внутри ЕС (и по странам, для которых тоже оформляют евросправку, хоть они и не входят в ЕС, — они перечислены в этом гайде). Сербия в ЕС не входит, по ранее выданной евросправке везти животное туда нельзя. Если ещё нет европаспорта с кипрской вакцинацией от бешенства, то вам нужно оформить ветсертификат для Сербии в кипрском ветдепартаменте.

А на обратный путь на Кипр, если вы собираетесь обратно, вам понадобится новая евросправка из Сербии, даже если вы оформите европаспорт на Кипре и сделаете здесь новую прививку от бешенства, так как ваши титры сданы не на территории ЕС.

Вернуться просто по той же евросправке на Кипр нельзя. Но если у вас будет оформлен европаспорт с кипрской прививкой от бешенства (без прививки европаспорт не действителен для каких-либо перемещений), то его должно быть достаточно для возвращения (однако при себе при возвращении на Кипр вам нужно будет также иметь старую евросправку с отметкой о ввозе животного на Кипр и старый ветпаспорт с историей вакцинации, так как ваши титры сданы вне Евросоюза, плюс сами титры; здесь можно об этом прочитать подробнее - вторая часть статьи): https://t.me/cyanimals/169910)

Берут только в салон

По вашему направлению точно не подскажу, но у "Кроликов" есть сводная таблица, можно свериться с теми, кто летает в Испанию: https://rabbitsleavingrussia.wiki/w/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D1%83_%D0%B6%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85

Предполагаю, что Aegean могут летать с пересадкой в Афинах, если прямые в багаж не найдутся

Посмотрите здесь заводчиков: https://www.cypruskennelclub.org/breeders