Если именно багаж (не карго), то сначала идете вместе с собакой в основном терминале на стойку регистрации вашей а/к, потом вас отправляют с собакой на сдачу негабаритного багажа

Тот же терминал, откуда все улетают, все в пределах одного здания. Наверно, речь о новом 🤷

Мы летали в багаже с Кипра, все происходит в одном и том же терминале, где вы регистрируйтесь на рейс, никуда далеко вас не отправят. Нас со стойки регистрации даже провожал сотрудник аэропорта до сдачи негабаритного багажа, там все относительно рядом (на одном этаже)

Эти нюансы лучше обсуждать с ветслужбой. 6 месяцев — максимальный срок карантина, но могут назначить и меньше, в зависимости от ваших вводных (например, 3 месяца). Карантин проходит на дому, в теории могут приходить иногда проверяющие, на практике, по-моему, в чате всего несколько раз о таком упоминали

Почта ветслужбы Ларнаки: [email protected]

Лучше по таким вопросам им все же писать, чтобы можно было на что-то ссылаться при дальнейшем общении с ними. По сути, персональных разрешений они и до этого никому не давали, насколько мне известно. Просто в их стандартном письме-ответе с инструкцией по ввозу была фраза "При несоответствии требованиям пустим всех с условием домашнего карантина и т.д."

Здесь есть подтверждение со стороны США (в вашем случае для возвращения достаточно европаспорта и валидной прививки от бешенства, сделанной на территории ЕС): https://www.aphis.usda.gov/pet-travel/another-country-to-us-import/pet-passports-european-union