Здесь был отзыв о передержке, но у них есть и услуги выгула (можно ещё посмотреть отзывы на них на гугл-картах): https://t.me/cyanimals/126213

Вам достаточно в европаспорт получить отметку о клиническом осмотре в СББЖ, евросправка не нужна.

В аэропорту при вылете скорее всего нужно будет зайти в ветконтроль и получить у них отметку "Вылет разрешен" (или посадочный талон, как в Питере). Вот история https://t.me/cyanimals/110783 и вот https://t.me/cyanimals/133337

Вам нужно оформить ветсертификат для России в ветслужбе, истории есть в закрепе