Доброе! Вы все смешали в кучу, да и ситуация не очень понятная. Куда летите? Откуда? Какой возраст ребенка, какие основания для проживания на Кипре (если тут замешан Кипр)? У ребенка должен быть своей проездной документ (паспорт) в любом случае. Далее если вы летите с Кипра – при наличии паспорта у ребенка выпустят в любом случае, но могут быть вопросы и потенциальные проблемы при обратном влете, если нет никаких визовых документов. Если речь про прилет на Кипр – то у ребенка в любом случае должен быть свой собственный визовый документ (вклейка, про которую вы говорите – возможно, это про re-entry visa, которую ставят в паспорт самому ребенку, если на ресите нет re-entry печати?).

А ребенка подали на продление/получение ВНЖ?

В его ресите есть такая печать?

Тогда за re-entry визой в Никосию.

Проживание и трудоустройство это немного разные критерии, которые дополняют друг друга. 3 или 4 года (в зависимости от уровня владения греческим) – это надо накопить в окне 10 лет. Потом непосредственно перед (!) подачей +1 год. И, судя по последним разъяснениям от Ольги, отдельным критерием также непосредственно перед подачей 2 года надо работать в BCS-компании, проходя по прочим условиям натурализации high skill. Т.е. в вашем случае нужно устроиться в BCS-компанию и проработать 2 года перед подачей (и все равно нужно было бы, даже если бы вы до перерыва 7 лет работали в BCS).