Если ребёнок родился здесь – то лучше при вылете иметь ВНЖ, конечно, или хотя бы ресит. Сам факт рождения не является основанием для легального пребывания, строго говоря, но сроки, в которые нужно обзавестись ВНЖ, это серая зона. А ВНЖ без паспорта не сделать. Если всё-таки будете выезжать (а как – по справке?), я бы думал о том, как объяснять нелегальное пребывание пограничнику при вылете так, чтобы в будущем получить ВНЖ без проблем. А как влететь потом назад – это другая проблема уже, и там попроще будет кмк.

В любом случае, сначала паспорт, потом все визы и пермиты. Вам стоит думать не о том, как получить визу для последующего въезда, а как выехать так, чтобы впоследствии ВНЖ дали.

Я буду только рад, если кипрский мигрейшн лояльно ко всему этому отнесётся лояльно, но я бы советовал проговорить с ними ваш конкретный случай заранее.