Ветсертификаты на Кипре оформляют в отделениях ветдепартамента, в закрепе, в разделе о вывозе животных есть более подробная информация.

В схеме, которую вы описываете, очень много проблемных моментов. Сама по себе перевозка животного через Зелёную линию нелегальна, это огромный риск. Плюс для ввоза животного в Израиль владелец (или человек, который будет оформлять на себя ввозные ветдокументы) должен находиться вместе с животным не менее 90 дней, иначе вам или вашим друзьям не дадут разрешение на ввоз (его нужно обязательно получать у ветслужбы аэропорта Бен Гуриона). Плюс, если вдруг речь идёт о щенке, то вы тоже не сможете скорее всего его ввезти, кроме как через карго, потому что ввоз щенков в Израиль считается коммерческим.

Допинформация о ввозе в Израиль и пошаговый гайд — в израильском чате:
https://t.me/israel_with_pets

Small Animal Hospital

90 дней за пределами Израиля с животным должен находиться человек, который повезет животное в Израиль. Об этом тоже можно подробно почитать в гайде в израильском чате

Чтобы не платить сбор за осмотр при ввозе на Кипр из-за пределов ЕС, вам нужно оформить европаспорт и проставить уже в него новую прививку от бешенства, сделанную на Кипре