Возможно, вы звонили по телефону экстренной помощи (если вы имеете в виду клинику Инны). Попробуйте по обычным номерам с сайта: https://www.peyiaveterinaryclinic.com/

Была история обратного ввоза — из Греции на Кипр: https://t.me/cyanimals/139456 (смотрите сам пост и реплаи к нему, там вся история)

Там при покупке вашего билета на сайте должна быть опция для брони места на животное

А собачка на таблетках (Бравекто, Нексгард и пр.)? Они обычно хорошо защищают, но клещи и блохи могут в том числе вызывать кожные заболевания. Вам бы лучше проконсультироваться с другим ветеринаром (здесь недавно делились контактами дерматолога, если что: https://t.me/cyanimals/203436)

На нашего пса ещё в первое лето на Кипре какие-то лютые мошки нападали, всякая тут живность водится

Если мнение про аллергию не вызвало доверия, лучше ещё с кем-то проконсультироваться, мне кажется. И про Бравекто стоит помнить, что он действует до 12 недель (не ровно 3 месяца)

Россельхознадзор вам правильно говорит.

Из инструкции по ввозу, которую можно найти в закрепе:

Для ввоза животного на Кипр подходят любые вакцины, официально зарегистрированные в стране вывоза (то есть вакцины российского производства тоже подходят). Здесь можно прочитать ответ ветслужбы Ларнаки по поводу вакцин.

1) на стойке смотрят обычно документы на животное. Если собака летит в багажном отделении, то вас ещё отправляют на сдачу негабаритного багажа

На выезде с Кипра ветконтроля нет, только на стойке могут проверить ветдоки. Да, после регистрации идете на паспортный контроль и пр.