На Кипр допускается некоммерческий ввоз до 5 животных, то есть вы можете для всех троих оформить справки на себя. Но вам нужно проверить требования авиакомпаний к допустимому количеству животных на одного пассажира. По-моему, даже для багажа в большинстве случаев допускается максимум 2 животных (то есть в теории нужен попутчик на тех же рейсах, к билету которого вы сможете прикрепить "лишнее" животное):
https://rabbitsleavingrussia.wiki/w/%D0%A2%D1%80%D0%B5%D0%B1%D0%BE%D0%B2%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D1%8F_%D0%B0%D0%B2%D0%B8%D0%B0%D0%BA%D0%BE%D0%BC%D0%BF%D0%B0%D0%BD%D0%B8%D0%B9_%D0%BA_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D0%B2%D0%BE%D0%B7%D1%83_%D0%B6%D0%B8%D0%B2%D0%BE%D1%82%D0%BD%D1%8B%D1%85

Ну и да, нужно ещё проверять, какое количество животных а/к в принципе допускают в багаж и в салон на одном рейсе.

Вы можете прикрепить животных к билетам других пассажиров, главное, что вы как владелец, на которого оформлены паспорта и евросправки, летите с животными одним рейсом.

На канале историй чата "Увожу кроликов" по тегу #несколькоживотных можно посмотреть похожие истории по разным странам: @rabbitsleavingrussia

По-моему, с европаспортом при возвращении в ЕС в основном проходят через зелёный коридор, но посмотрите ещё истории или поиском по чату по ключевым словам типа "европаспорт": https://t.me/takemyrabbits

Важно, чтобы прививка от бешенства, проставленная в европаспорт, была сделана внутри ЕС. И из Молдовы в ЕС нужны титры (если титры сделаны за пределами ЕС, то им ещё понадобится 3-хмесячная выдержка с даты анализа).

В гайде есть примерный образец уведомления, там по сути нужно ваше имя, сколько животных вы везёте, когда и каким рейсом прибываете. Копии ветдокументов отправлять не нужно, уведомление вы можете отправить до выходных.

Отправлять заранее не надо. Заполните на всякий случай, ее могут попросить уже на ветконтроле в Ларнаке.