Сертификаты оформляет тот, кто вписан в ветпаспорт как владелец. В СББЖ нужно брать животных, там их осматривают. Надо ли брать животных в пункт ветконтроля, зависит от требований самого пункта, но вообще там обычно сверяют чипы, так что лучше предварительно узнать, можно ли без животных.

Здесь ещё можно посмотреть проверенных перевозчиков: https://t.me/takemyrabbits/67059

При вывозе в аэропорту Ларнаки нет ветконтроля, все ветдокументы оформляются заранее.

Вам, мне кажется, лучше сначала записаться в дистрикт вет на получение сертификата и уточнить сроки, когда перед этим проходить префлайт чек у частного ветеринара (и надо ли это делать в принципе, так как в недавней истории про поездку в Израиль чек у частного ветеринара не нужно было проходить).

Контакты ветслужб здесь, адреса гуглятся на картах: http://www.moa.gov.cy/moa/vs/vs.nsf/vs07_en/F7E307422C0B1B99C22575350040DAE2?OpenDocument

Частный вет ставит в паспорт печати об осмотре, плюс в истории из закрепа девушка писала, что обработки от паразитов тоже с печатями от вета.

Армения и Россия входят в ЕАЭС, вам просто в справке для РФ пропишут транзит через Ереван. Но можете ещё посмотреть истории про обратный транзит в "Увожу кроликов".