Забирать ничего не должны, так как по евросправке, полученной в России, вы сможете вернуться обратно же в РФ в течение 90 дней с момента выдачи справки.
Врач, видимо, имел в виду, что вы можете оформить европаспорт, сделав на Кипре прививку от бешенства, и въезжать на Кипр по нему. Но это имеет смысл, только если животное на постоянной основе проживает в ЕС.
