Из неочевидного: если Вы летите через какую-то страну и выходите в ней погулять на пару дней, то с высокой вероятностью (зависит от конкретной страны) в аэропорту Кипра Вам будет нужно предъявить результат анализа на антитела к бешенству (причём после получения результата по требованиям ЕС должно три месяца пройти, такие требования) или заплатить до 300 евро за карантин. Доку со списоком стран, откуда НЕ надо титры, тут недавно кидали.

Есть некоторая сложность, если у Вас животные брахицефальных пород, их авиакомпании отказываются брать на борт в багажный отсек, с ними можно только в салоне (если вообще можно). Правила авиакомпаний по перевозке животных легко найти по запросу в гугле "название авиакомпании pet policy".

Ну и из того, чего нет в гайде: собаку нужно будет зарегистрировать тут и платить за неё ежегодный налог, где и как это делать, Вам лучше подскажут владельцы пёсиков тут, в чате)

В шенгенскую зону Кипр не входит, вроде как кипрские визы и разрешения на проживание не дают права на передвижение по ЕС, но лучше проверить.

Вы имеете в виду паспорт для животных или для людей?))

Обычный международный паспорт подходит (в России его можно купить в любом зоомагазине или в ветеринарке), не знаю, насколько беларусский от него отличается)

Мы с кипрским ветеринаром обсуждали возможность путешествия по ЕС, он сказал, что для этого оформлять паспорт ЕС не надо, с международным можно спокойно летать.