Жесть какая-то у Вас случилась, у меня было похожее, когда я первый раз пыталась котов добавить к билетам, тоже долго ждала ответа на заявку: сначала какие-то записи в поле не влезали (возможно, потому, что я хотела двоих в одной переноске везти), потом оказалось, что немного неправильно размер переноски указали, потом пришёл отказ из-за породы кота. Если будете ещё звонить, попросите проверить данные в имеющейся заявке.

Если длинношерстный, напишите longhair, какая разница)

Никак, тем рейсом муж полетел один, я моталась на Кипр с каждым из котов по отдельности, первый раз через Каир, второй раз Эмиратами. При оформлении заявки во второй раз вообще ноль проблем было, позвонила, всё рассказала и на следующий, кажется, день уже получила подтверждение и реквизиты для оплаты.

Ну и да, отказ из-за породы — это отказ из-за породы, какой-то окончательный ответ, можно считать это победой)
Вы оформляли первоначальный запрос у них на сайте? Если да, может быть, проблема в этом?