Родился я Алексеем, родной язык русский, а на украинском мое имя Олексiй. То есть на греческом мне быть Ολεξιι? Родной язык не имеет значения никакого. Имеет значение только язык документа на котором составлен документ. Если документ на украинском, то переводят с украинского, если на английском, то значит с английского. Разве не так? При этом варианты перевода могут немного различаться.

Прикол в том, что и транслитераций куча: ISO, ICAO и другие. Например в РФ раньше Алексей был Alexey, потом вдруг стал Aleksei. Ивановский был Ivanovskiy а стал Ivanovskii. Сейчас по умолчанию пишут через транслитерацию ICAO, но по заявлению могут прописать и по-другому. Имеет значение, как имя написано только внутри одной страны. В России все документы на русском должны одинаковыми, как и на Кипре. Если один раз криво перевели, то с этим и жить или менять имя через процедуру смену имени. Поэтому лучше сразу настаивать на удобном переводе, чем потом мучиться.