про анализы:

без Еси можете сдавать сколько вам нужно, будет платно.
по Еси направление на анализы может дать либо терапевт, либо врач-специалист.
приходите к терапевту (в последствии уже можно будет по телефону это решать), объясняете причину. он либо сам назначает диагностику (в т.ч. анализы), либо даст направление к врачу-специалисту, а тот уже по результатам приема даст направление на анализы.
терапевт бесплатно. врач-специалист по направлению - 6 евро. анализы - по 1 евро за каждый (тут уж сколько назначат)

конкретно не подскажу, но, возможно, врач может выписать? вы в системе Еси?

система Еси (Gesy Γεσυ по-гречески произносится как "йеси")
аналог нашего ОМС,
взносы в Еси платить должны все резиденты острова, получающие доход (2,65% от дохода, если не ошибаюсь)

пользоваться системой могут граждане острова, а также иностранцы с ПМЖ (например, категория Ф), что-то еще было про супругов киприотов и супругов граждан ЕС (точнее не подскажу, надо узнавать).
также работающие (и члены семьи) на кипре (если компания платит отчисления в фонд) тоже пользуются Еси.

визитеры, туристы и владельцы ВНЖ (например, пинк-слип) не подпадают под критерий, пользоваться программой Еси не могут

если у вас есть основание, можете позвонить по тел 17000 или почитать в закрепе этого чата, узнать, как зарегистрироваться

да, вы правы.
сейчас добавлю в свой пост

тут совсем не знаю.
я бы начала с текста страхового полиса: покрывает ли страховка подобные случаи.
если нет, то покупать в аптеке за свой счет.
если покрывает, то узнать, как происходит возмещение (возможно, просто покупаете и передаете чеки в страховую, либо еще может быть, нужно, чтобы вы обратились к местному врачу, чтобы он выписал необходимые препараты, чтобы страховая могла возместить).
пожелаю удачи в любом случае!