Одновременно Вы Entry permit c женой не получите. Получаете Вы, прилетаете на Кипр, оформляетесь и получаете подтверждение из мигрейшн, что Ваши доки приняты на рабочую визу, после этого собираете документы на жену и ей делают пермит (геп там обычно в пару недель между Вашим оформлением и выдачей пермита жене), если делается через какую-то компанию и агентов, а не самостоятельно.

Лучше, по-максимуму, но не менее хотя бы 30 дней

за меньший срок маловероятно что успеют все сделать и для Вас, и потом для жены, рискованно

Вообще смотря где и как Вы на визу документы подаете, раньше было достаточно подтвержденной брони отеля (потом бронь чтобы отменить можно было) и брони билетов обратных (тоже можно было отменть). Сейчас возможно придираются уже и надо все купленное - тут точно не подскажу. Рискованно менее, чем на 30 дней (а лучше на 90 дней) - что не успеют Вас быстро оформить (например, Вы будете жилье искать долго или доки подадут позже чем надо), а потом для жены будут подавать дольше, чем изначально кажется должны бы

это Кипр, тут практически никогда и ничего не происходит быстро = во время

Я боюсь сейчас это лотерея. Скорее нет. Но попробовать Вы конечно же можете