Доброе! Компания должна иметь международный статус, то есть легальное право нанимать сотрудников из третьих стран. Статус компания получает в миграции одновременно с регистрацией первого сотрудника. Уточните в компании, у них должна быть бумага об этом, если соответствующий статус у компании есть.

Ну тут два варианта. У Вас было разрешение на работу и они Вас наняли как местного. Тогда предоставляете документы, почему вы имеете право работать на Кипре. Второй вариант - компания международная и они Вас наняли, сделав вам рабочую визу (то есть разрешение). Тогда компания подтверждает, что может нанимать.