И в оригинале и также подтвердить электронно, чтобы был факт получения зафиксирован, так как установленного механизма нет пока

А вы загружали declaration to cover expenses of third country national? С печатью и подписью компании

Если вы летите Греция, потом Венгрия (и в Венгрии проводите больше дней), то ваша поездка полностью соответствует Статье 5 Визового кодекса ЕС. На границе держите при себе билеты и брони в Венгрию.

Компетентным является государство, территория которого составляет единственное или основное место назначения по длительности пребывания, именно в днях, или по цели поездки. 

Поэтому то, что вы въезжаете через Грецию, не является нарушением, если Венгрия остаётся вашей основной страной пребывания по количеству дней

Но учитывайте, что офицер на границе имеет право потребовать подтверждения условий и цели планируемого пребывания (посадочные талоны, брони отелей, билеты в Венгрию) и если выяснится, что заявленные при получении визы условия изменились и Венгрия больше не является вашей основной целью (или вы вообще туда не едете), виза аннулируется на основании Статьи 34 Визового кодекса ЕС, так как условия ее выдачи перестали соблюдаться. 

Есть в закрепе

Может дойти до 3 недель и больше

До 3-5 дней