В суде также можно

В закрепе

В закрепе про это есть также информация, и в официальном списке документов четко указано про доктора Кипра )

А за что задержали?

А почему вы считаете, что это неверно? Это ведь не ВНЖ Франции, а временное разрешение на поиск работы или завершение учебы, выдаваемым на период обработки или вместо основного вида на жительство во Франции, точнее это же не полноценный residential permit Франции

https://home-affairs.ec.europa.eu/document/download/0c3f53c2-624b-409c-aae8-8fc11031dff3_en?filename=handbook-annex_22_EN.pdf

Кипр не шенген. По ЕС, который в Шенген, да.

Временные разрешения, как APS, включены в Приложение 22 к Шенгенскому руководству как внутренние документы конкретного государства, не дающие права свободного передвижения

Во Франции есть два вида.
Titre de Séjour категориальный статус Residence permit (дает право безвиза) и APS (Autorisation Provisoire de Séjour) статус Temporary Residence Document.

Мы по этому писали диссертацию в свое время касательно ЕС :)

Смотрите, в аэропорту есть, так называемый, entry controls checklist, и в этой инструкции четко прописано: Récépissé (справки о подаче), Attestation и APS не являются основаниями для въезда на Кипр без визы. Нет просто юридического права под свою ответственность поставить штамп о въезде.
Даже если бы человека случайно посадили на рейс во Франции (что само по себе бывает редко, так как системы TIMATIC у авиакомпаний подсвечивают APS как недопустимый документ для Кипра), по прибытии на остров пограничная полиция оформляется Refusal entry form.

P.S: эти нюансы я знаю по ЕС свободе передвижения и миграции, так как в свое время магистратура именно на эту тему защитила :)