Нет, выезжать можно, но любой срок (даже меньше 90 дней) пойдет в отсутствие.
Как я понимаю.

Нормально, главное в этом доке прописать все что на первых страницах контракта - срок действия, адрес, данные обоих сторон, стоимость за месяц. И можно его отдельно подписать, марками заверять и штамповать

Все что меньше 90 дней в год от подачи на внж - считается как пребывание на кипре.
Все что больше 90 дней - считается как отсутствие на Кипре.
В последний год перед подачей любое количество дней считается как отсутствие.