Пойти выпить кофе по-венски и съесть шницель с картофельным салатом) Всё в порядке, так и должно быть. Для будущего может быть полезно сохранить чеки за гостиницу / другие чеки от сегодняшнего дня из Вены. Но вероятность, что они потребуются - 1%

Нет, внутри шенгена нет паспортного контроля, он не может получить штамп в Австрии