На момент подачи детей по M126 у них должен быть действующий ВНЖ (если они находятся на Кипре). Но нигде не указан тип (категория) ВНЖ.

После получения гражданства родителем.

Дети, приобретая гражданство по процедуре регистрации (sorry за не совсем юридически точные формулировки), знание языка не сдают.
Добавлю:
https://t.me/cylaw/342107
исчерпывающая инструкция и перечень документов.

Возраст детей "фиксируется" "по вашей подаче", если вы подаетесь по fast track. Это тоже много раз было написано и обсуждено.

Нюанс: исходим из того, что по вашей подаче будет положительное решение. Иначе - сами понимаете...

Ну логично же пойти в то отделение, где счёт у вашего мужа.