Новому эмплоеру оно точно нужно. И вообще вы должны его подписать (но прежде внимательно прочесть).
Иногда эмплоеры сразу пишут mutural termination letter - вот в этом случае нужно особенно внимательно всё читать.

Ну да. Я когда два раза меняла работодателя, то мой следующий при подаче документов в миграционную службу прикладывал предыдущий терминейшен (даже когда я получила LTRP это тоже обязательно).

И вообще можно пойти в соцстрах и получить компенсацию за терминейшен. Но я этого не делала (не рекомендуется при рассмотрении по фаст-трек).

Плюс при сокращении предусмотрены реданданси (выплаты) в зависимости от стажа работы в компании. Нужно очень внимательно читать условия сокращения/увольнения и соотносить это с законодательством Кипра.

Тут я вам не могу сказать. Прочтите внимательно свой рабочий контракт. Всё, что в нем не указано, то должно регулироваться по labor law.
Мы расстались с работодателем по взаимному согласию (mutural termination - один раз переписали), но все выплаты я получила (работала более 5 лет)