По туристической визе спокойно въезжаете оба - сначала подаётесь вы, затем присоединяете супругу после одобрения (обычно 2-3 недели до смены статуса, но с учетом июля-августа сроки могут растянуться, поэтому супруге может не хватить времени пребывания, т.ч. либо она чуть позже прилетает, либо просите визу на 60-90 дней, если с проживанием уже определились. Умные люди подскажут, вероятно есть вариант уже на Кипре продлить супруге тур. визу).
Если есть возможность получить шенген/нац. визу, то с сбором документов для энтри нет смысла заморачиваться

2-3 недели с момента подачи до смены статуса. А податься можно и через месяц и через два)

"бумажку" (ресипт), как и ARC (жёлтый сертификат при первичной подаче) выдают сразу же в день подачи - юристы работодателя должны передать их вам сразу. По ресипту у вас появится возможность вылетать-влетать в период ожидания пластика (биометрия на него сдаётся обычно в течение недели после подачи).

Но выдача ресипта не равно одобрению внж - сначала у вас будет статус "в ожидании", и вот этот статус в течение 3 недель как правило меняется на "approved" (если не будет внезапных доп. запросов, что редкость).

И вот как только статус сменяется на approved (при этом пластик может быть ещё не получен) - вы можете присоединять супругу к своему одобренному кейсу

Анализы и биометрия (фото/отпечатки) - две разные процедуры.
Первое - сдаётся как можно быстрее после прилёта и заверяется, т.к. требуется до подачи документов.
Второе - уже после подачи документов, в тот же день либо в течение недели (или двух, если память не изменяет). Если пропустить срок - аннулируют кейс, и нужно будет подаваться заново

подать можно в любое время, пока у вас легальный статус пребывания на Кипре (действительна виза). Если у вас в Энтри пермит указано 7 дней, значит да

Значит, в этот срок после въезда и нужно податься. А биометрию пройти в течение недели после подачи. Чем раньше пройдёте - тем быстрее пластик уйдёт в печать.

Первый день — это следующий после дня прилёта. Могут придраться, конечно, но вряд ли из-за одного дня кто-то будет сильно возмущён, особенно если будете готовы нормально объяснить почему задержались со сдачей.
Если злостно не нарушать, то на мелочи нередко могут закрыть глаза. Но старайтесь не злоупотреблять и соблюдать правила, сроки не просто так прописаны. Если не повезёт с настроением принимающего — имеют полное право отказать в приёме.

Скан уже проштампованного налоговой оригинала можете сами распечатать и наклеить марки по 2 евро на каждую копию. Этого достаточно.
Копия с штампом налоговой в 2 евро (на которой нет штампа с полной суммой) вообще не ясно зачем нужна — у нас в мигрейшен ее не взяли. Сказали, что нужна копия именно штампованного оригинала, сами на месте сделали скан оригинала с полной суммой (на отсутствие марки махнули рукой). По идее, лучше если оригинал с полной суммой гербового сбора останется у вас на руках. Работодателю должно хватить обычной копии с 2 евро.