В Лимасоле, обычно 3 рабочих дня занимает. Да, иногда шли на встречу, и сами на месте делали расчет.
Думаю, если вам срочно, то можете сделать расчет онлайн и на месте попросить их ускориться (объясните ,что сроки горят).
В Лимасоле адекватные сотрудники работают, часто идут навстречу.

А насчет украины в отношении Кипра не подскажете (если знаете)?

Имейте в виду, что относительно короткий срок связан со сменой статуса на ПМЖ.
По возврату из-за выезда, например, сроки намного дольше (вплоть до года, иногда).

и на английском тоже -
"Original medical examination certificate of blood tests, proving that the third-country national does not suffer from hepatitis B, and C, HIV, syphilis, as well as a chest X-ray for tuberculosis with a doctor's opinion, stamped by a specialist doctor from the Republic of Cyprus ONLY for the 1st Permit."

Это старая версия

Если сейчас зайдете на сайт - там уже новые версии. Как на греческом, так и на англ.
Явно указывается, что мед.экзамены ONLY for the 1st Permit.

Да, по видимому, забыли обновить.

В любом случае, там же указано, что мед.анализы требуются на всех членов семьи.
А так как, по родителям не требуется повторно, то по какой логике будет требоваться по ребенку?
То есть, очевидно, что просто забыли обновить список.

В таком случае, если уперлась и никак не сдвинуть с места, то придется проходить..либо сами подавайтесь, отдельно, если это для вас принципиально

Не подскажу(
Как вариант, можете сами продлить без ее участия.
Правда, не совсем понял, как эта категория связана с работодателем на Кипре

Так если все доки готовы, просто поговорите с начальством, что тупо не успеваете сделать анализы и есть риск разрыва.
Какая им разница, сами вы будете подавать или с юристом компании?

Либо попробуйте объяснить ситуацию и успеть заверить в больнице.

По этой категории не знаю, пусть знатоки подскажут.
Возможно, что и бюрократия побеждает, и, действительно, требуют каждый год. Хотя и не логично.
С другой стороны, бюрократия часто нелогична.