https://www.businessincyprus.gov.cy/business-facilitation-unit/

Если единственный UBO гражданин ЕС – 99,99%, что компания не BCS.

Вас как арендатора не заденет в любом случае, вы не обязаны быть в курсе прав арендодателей на сдачу жилья. К ним санкции от никаких до "подтянуть вообще за все – и за налоги на сдачу, и за льготный НДС (если они его брали), и за сам факт сдачи вопреки тому, что написано в разрешении на покупку и т.д.". Пока чаще встречалось первое, но времена стремительно меняются.

Да.

Отправить документы почтой в консульство в Москве из региона прописки, если прописка в РФ не в регионе, где есть свое консульство...

Говорят, до недавних пор в Армении по регистрации принимали, но вроде начали требовать ВНЖ уже. В теории можно Грузию, наверное, попробовать – там можно жить 360 дней в году без ВНЖ, многие так и делают, наверняка есть люди, которые получали визы – но, скорее всего, это те, кто там живет постоянно (пусть и без ВНЖ) и может это доказать... Раньше про Сербию и Черногорию какие-то такие слухи были. Плюс, на днях Кипр в Кахахстане консульство открыл – мб там по регистрации получится. Но такого, чтобы гарантированно получилось без ВНЖ/РВП – таких стран нет.

https://home-affairs.ec.europa.eu/policies/schengen-borders-and-visa/visa-policy/applying-schengen-visa_en

Вообще на сайте Еврокомиссии написано так:
As a general rule, you must apply for a Schengen visa at the consulate with territorial responsibility for the country where you are legally resident.

Про резидентство можно при желании трактовать, что это страна, где человек прожил больше, чем 90/180, и при этом больше, чем в любой другой стране, неважно на основании какого документа. Только на это и уповать. Но в Грузии да, вы правы, нет консульства Кипра.