если вы граждане РФ, то только решение суда по лишению родительских прав будет у вас основанием для получения виз или внж для ребенка без согласия отца.
в РФ возможно получить решение суда на разовую поездку туристическую, когда отце против, но это муторная история конечно.

понятие единоличной опеки в РФ отсутствует. даже если определено место жительства ребенка с матерью, но отец все равно имеет все права родителя (если не лишен их).
кипрские юристы не понимают видимо, что в РФ римское право, а на Кипре английское право (в большинстве своем)

p.s. даже если отец ребенка дал разрешение на визу и внж. то в любой момент он может отозвать его и тогда продлить внж не получится.

договариваться с отцом, но предварительно проконсультироваться с хорошим юристом по семейному праву.
есть вероятность, что не получится у вас договориться. будьте морально к этому готовы.