Может, оформить второй в дополнение к действующему для вылетов из РФ?

А на Кипр влет/вылет делайте по старому, к которому у вас выпущен пермит.

Они не смотрят первый.
И должны выписать как правильно по инструкции, т е.как в СоР.

Вообще они смотрят, какой привязан к пермиту.
Вы можете в мигрейшн отправить емейл с новым паспортом, и там внесут его в систему.
Или пограничник внесет, скажете что новый недавно получили.
Проблем не должно быть в любом случае, просто по времени дольше получится.

Емейл им отправить с соответствующей просьбой.

Я держу для Кипра отдельные паспорта, чтобы проще было штампики искать/ дни считать. А вторые - в другие страны)

Если она живет на Кипре и тратит здесь €€€ по казахстанской карте, то можно приложить выписку из банка КЗ.
Она покажет регулярность и объем средств, потраченных на Кипре.