Можно оформить внж на паспорт, отличный от паспорта въезда. В мигрейшн тогда отдаются оба паспорта, им нужен паспорт со штампом въезда на Кипр в любом случае.

Можете только старый паспорт подать, у вас нескоро он заканчивается. Внести новый потом не проблема. Можете подать оба и оформить сразу на новый, паспорта не забирают, вернут сразу после биометрии.