В законе про армию указаны сроки службы для натурализованных киприотов (срок зависит от возраста в котором случилась натурализация). Таки да, если натурализовался до 18 и не отслужил, даже с острова не вылетишь без разрешительной бумаги от армии.

Before departing from Cyprus, those aged 16-26 and are eligible for military service require an Exit Permit which is issued by the Ministry of Defence and local District Military Offices in Nicosia, Larnaca, Limassol and Paphos.
HOW TO OBTAIN AN EXIT PERMIT
For persons aged 16-26 who are required to obtain an exit permit can do so by visiting the local military office whilst in Cyprus with their passport and their return ticket.

Те, кто натурализовались до 18 и постоянно проживают на Кипре, служат полный срок. Те, кто в период с 18-26, полгода. Те, кто после 26 - три месяца. Можно более подробно почитать в законе Ο περί Εθνικής Φρουράς Νόμος του 2011 (Ν. 19(I)/2011), в частности, статья 21