Выезжать с Кипра (и из любой страны) по тому паспорту, по которому въезжали. Иначе система не поймет, что вы выехали, и у пограничников будут ненужные вопросы. Выпустят, но будут ругаться. И вам на будущее ненужные сложности с подтверждением времени пребывания на острове