UK хорошо дают, не нужен договор аренды, если есть ВНЖ.

Да, можно

Судя по всему, в РФ выдают лучше, чем на Кипре(

Ваш работодатель может запросить в мигрейшн продление. Я в свое время делала, но указывала личные причины - крестины, показывала аффидавит и св-во о рождении крестницы, вроде (давно было). Начальник мигрейшн ставил штамп и от руки вписывал даты продления.
У вас будут другие документы, конечно, компания может оформить.

К сожалению, деталей не подскажу. По существу, Вам нужны основания для задержки на Кипре и документы под них, и просить продлить визу в мигрейшн у начальника. Мне кажется, мы тогда просто в рабочее время пришли к нему, не записывались никак заранее