Скорее всего потому что вам должны присвоить ARC (alien registration certificate - и это тоже жёлтая бумага).
Какая у вас стадия? Вы уже на Кипре?
Или ещё за пределами Кипра?

Если вы уже сдали анализы, получили жёлтую бумагу и сдали биометрию, то теперь можете проверять статус заявления по 1199. Туда вписываете номер из Receipt
Пластиковую карточку ВНЖ действительно могут делать несколько месяцев, но на работников BCS обычно делают месяца за 2-3

Там нет очереди, просто приходите и сдаете, надо сдать в течение 7 дней после получения receipt

Думаю, что это не компания, а те, кто делает реально ваши ВНЖ, посредники.
Тут столько посредников вводят людей в заблуждение
Я занимаюсь всей релокацией на Кипре в компании, перевезла 100 человек

Вы про ваш рабочий контракт? Какой период трудоустройства у вас указан? Если вы устраиваетесь в BSC (company of foreign interest) то они трудоустраивают на 2 или 3 года в основном.

Бессрочный контракт считают исходя из периода 12 лет, это действительно очень дорого.
На сайте налоговой есть специальный калькулятор, который поможет вам посчитать сколько вам нужно марок наклеить в зависимости от срока вашего трудоустройства и размера зарплаты