Апостиль это апостиль, какой орган у вас в стране уполномочен его ставить, тот и поставит. Если в РБ его имеют право ставить нотариусы, ну тогда пусть ставят.
Ещё не уверена, но вроде на все документы РБ нужен апостиль для Кипра (брак, дети если есть).

В закрепе есть инфо на эту тему

Мы сегодня внж (ресипты) получили с оверстеем (пара недель), только сам оверстей никуда не денется. А где и когда аукнется - не знаю. Возможно если останемся и захотим делать гражданство, то припомнят.

А почему не по вашей? Взрослые люди, турвиза, правило 90/180. Если контора тянет, то оставляете дней 10, выезжаете и заезжает на оставшихся днях ровно к подаче.
Вашу же семью не привязал ваш работодатель.
Если вы планируете уезжать, то чем вам помешает письмо, покажете его к своим объяснениям на погранконтроле. Чтобы снизить риск бана. Да и то если спросят.
Консульство вам оверстей не обнулит.

В начале февраля всё общение с ними через почту проходило.

Вот поначиталась про письма от конторы, пойду нам такое же стрясу с работодателя. Пусть будет.

Так никто не понял, чего вы от консульства (российского же?) хотите, они никакого отношения к вашим визовым нарушениям на Кипре не имеют и никак на них не повлияют.
Паспорта с визами у вас вряд ли забрали, не допустить оверстея, пока идёт оформление, вы могли, я про это.