1. есть очередь на подачу заявления в консульстве
2. срок изготовления паспорта через консульство порядка 3 месяцев
3. есть очередь на получение паспорта в консульстве

с учетом, что месяц окончания действия паспорта - август, вы уже должны были записаться ))
это и в случае когда вы делать будете "взамен действующего" и когда вы делать будете "в дополнение к действующему"
биометрический https://cyprus.mid.ru/ru/consular-services/oformlenie_biometricheckogo_pasporta_na_10_let/
пятилетний https://cyprus.mid.ru/ru/consular-services/oformlenie_zagranichnogo_pasporta_na_5_let/

**Можно ли просроченные права поменять на здешние?
**нет
вы смогли бы поменять действующие российские права через 6 месяцев нахождения на Кипре, просят utility bills за 6 месяцев и должен быть пластик вида на жительство

**Или их как-то обменять в посольстве/консульстве?
**нет
просроченные права можно поменять в РФ и вот их уже поменять тут на Кипре, если все условия будут соблюдены.

или после 6 месяцев пребывания сдать тут на кипрские права и получить их