вы можете документы в муниципалитет отправить/показать заранее, чтобы убедиться, что всё ок, и в день свадьбы у вас ничего не попросят, только id/паспорта свидетелей.

муниципалитеты тоже разные бывают, резидентов без пластика в Ларнаке отказались расписывать по ресипту, например, а в Арадиппу - без проблем, лишь бы справка из миграции была.
справка это действительно делается быстро, а не месяц, сканят ваши справки о неженатости/разводе из родной страны и выдают бумажку "нет препятствий для вступления в брак". может занять не 15 минут, а день-два, если ответственного офицера на месте в миграции не будет, но не больше.