По приезду на Кипр, будет работать туристическая из России, пока вы не подали документы на резидентство. А при подаче документов на внж, так или иначе у вас должна быть местная страховка, хотя бы самая базовая.

Видимо ваш вариант такой: берете туристическую в России на срок до подачи, оформляете здесь местную со дня подачи.