gesy это сбор, tax treaty к нему никакого отношения не имеет, платить его нужно, если вы налоговый резидент Кипра.

Когда платить ГЕСИ, зависит от вида дохода, в вашей ссылке указаны конкретные виды дохода по которым нужно платить до 30 июня и 31 декабря.
1. Да
2. С дохода по оказанию услуг удаленно, вы будете платить ГЕСИ после подачи налоговой декларации в след году

Нет

Почитайте док, там все написано: https://www.gesy.org.cy/sites/Sites?d=Desktop&locale=en_US&lookuphost=/en-us/&lookuppage=announcementdef/20190201-ghs-contribution-payment-0.pdf

выдают сразу при подаче документов

можно

если документы забрали, но попросили что-то донести, то слот не нужен