Насчет обязанностей не скажу, но лично видел, как гражданин РФ (имеющий гражданство Кипра) влетал по заграннику РФ и получил в него штамп о въезде. В качестве документа для въезда показывал пограничнику кипрский id и попросил поставить штамп в паспорт РФ, чтобы потом было удобно получить налоговое резиденство (Кипра) по штампам. Вопросов у пограничника было 0. Поставил ему штамп в паспорт РФ и отпустил.

Без понятия. Но, там ведь тогда не будет видно однозначно, где и сколько человек жил с момента вылета из РФ, если штампов о влете куда-либо не стоит.

Речь про Кипр ес-но

Насколько я понимаю, резидентство можно доказать, показав вместо штампов в загранпаспорте договор аренды/покупки жилья и счета за воду/электричество, например