Самому, служб нет таких (я не знаю ни одной страны, где была бы такая служба, к слову).

Можно дать денег этой организации.
https://paphoscatpatrol.com

Но они не принимают заявки, насколько понимаю.

Можно попробовать обратиться в клинику фонда Pasikaf. Знаю, что стерилизацию делают они бесплатно, возможно и какое-то лечение осуществляют. Но отвозить котика нужно самим, ездить искать они не будут.