Как обычно советуют админы "Увожу кроликов", лучше в стране транзита не задерживаться дольше двух суток, потому что иначе при вылете в стране транзита могут затребовать новые местные документы (в вашем случае евросправку, оформленную в Грузии). Хотя в теории, да, евросправка действует 10 дней с момента выдачи

Речь не шла в первоначальном сообщении о переделке чипа. Некоторые страны все же требуют при выезде, чтобы чип был внесен в местную базу (и эта информация может быть напрямую связана с вакцинацией от бешенства, особенно если речь идёт о собаках). А вот из-за расхождения требований ввоза из России (откуда у человека все ветдокументы) и из Сербии врач действительно может перестраховываться, и здесь два варианта, как мне видится: либо ревакцинировать в Сербии и ждать карантин в 21 день, чтобы не осталось формальных следов ввоза из России (иначе, возможно, придется как-то доказывать ветслужбе Ларнаки, что животное находилось в Сербии несколько месяцев до вакцинации в Сербии, а не сразу поехало через Сербию из России в ЕС без титров), либо просить обязательно вписать в евросправку титры, чтобы полностью соблюдались требования ввоза животных из России в ЕС.

Разницы в общем нет, но в таком случае титры должны быть обязательно вписаны в евросправку, то есть засвидетельствованы как валидные местной официальной ветслужбой

Декларация вам не нужна, потому что у вас есть титры. Но у вас могут возникнуть проблемы с выездом из Грузии по евросправке, оформленной в России, так как транзитом, по опыту, считаются один-два дня, а пять дней для такого уже многовато. Если вас все же выпустят из Грузии с российской евросправкой, то смотрите обязательно, чтобы уложиться в 10 дней с момента выдачи справки в России до ввоза на Кипр

Здесь ещё на всякий случай информация о том, где оформлять справки на выезд в Грузии: https://ru1.rabbitsleavingrussia.wiki/w/%D0%92%D1%8B%D0%B5%D0%B7%D0%B4_%D0%BD%D0%B5_%D0%B8%D0%B7_%D0%A0%D0%BE%D1%81%D1%81%D0%B8%D0%B8#%D0%93%D1%80%D1%83%D0%B7%D0%B8%D1%8F

Тогда вам точно нужно будет получать новую евросправку в Грузии. Ваши российские титры будут актуальны для выезда из Грузии

Главное, сохраняйте ваш ветпаспорт с историей вакцинации и ещё на всякий случай российскую евросправку, где тоже засвидетельствованы титры