Никакие базы не важны для выезда из РФ, да и единой международной в принципе не существует.

Данные о прививках в европаспорт не переносят, вам нужно будет заново ревакцинировать животное от бешенства для получения европаспорта на Кипре. Наклейку от чипа можете сохранить, чтобы номер чипа не пришлось вписывать в новый паспорт вручную (хотя это не запрещено).