Да, вы можете на всякий случай сохранить посадочный талон, но скорее всего вас просто спросят, откуда вы прилетели, и таможенники посмотрят паспорт с прививкой.

Котов регистрировать не обязательно. Только если вы хотите, чтобы чип был в базе ветдепартамента на случай, если кот потеряется

Наверно, можно и через частные ветклиники (в чате писали, что так тоже регистрировали собак). Но можете и напрямую в отделение ветдепартамента в вашем городе написать, когда приедете: https://t.me/cyanimals/133548

Вот такую бумагу ветслужба Ларнаки как-то выдавала прибывающим: https://t.me/cyanimals/166118