В любой ветеринарке делаете паспорт. Если собака приютская, все прививки у неё должны быть. В паспорт вносите всю информацию. Выясняете в приюте сроки сделанных прививок. При покупке билета информируете авиакомпанию о перевозе собаки. Они вам сообщают стоимость. Покупаете переноску. Никаких проблем особых нет.