Если врач согласится сразу сделать обе прививки, можно и в один день (либо иногда предлагают разнести прививки). Обработку для выезда делают не раньше чем за 5 дней до поездки

В закрепе есть ссылка на таблицу с требованиями авиакомпаний, можно проверять по ней (но предполагаю, что перевозка кане-корсо — это уже карго): https://t.me/cyanimals/133605

С брахицефалами тоже свои особенности, не все а/к их берут, здесь список.

В частной ветклинике

Контакты отделений ветдепартамента есть в закрепе (третье сообщение).

Ветдепартамент вам скорее всего никакого официального бланка не выдаст, в чат уже приходили с таким вопросом, смотрите вопрос и реплаи к нему: https://t.me/cyanimals/182574

Вам по меньшей мере нужно будет ревакцинировать животное от бешенства в ОАЭ, выждать карантин после прививки и уже там получать евросправку для Кипра, будто начальная точка отправления — ОАЭ (и надеяться, что Кипр сочтет это ввозом из "зелёной" страны с учётом предыдущих доков из России). Плюс у них заморочистый ввоз и вывоз с получением пермитов и карго, если речь о ввозе в Дубай

Из "зелёных" для ЕС вариантов, куда вроде не нужны титры из России, - Аргентина 😅

Проблема в том, что в стране транзита у вас могут тоже попросить на регистрации евросправку, которой у вас не окажется, и вас не пустят на рейс до Кипра.

Список есть в статье о титрах из "Увожу кроликов": https://rabbitsleavingrussia.wiki/w/%D0%A2%D0%B8%D1%82%D1%80%D1%8B_%D0%B0%D0%BD%D1%82%D0%B8%D1%82%D0%B5%D0%BB_%D0%BA_%D0%B1%D0%B5%D1%88%D0%B5%D0%BD%D1%81%D1%82%D0%B2%D1%83

Плюс его нужно сопоставлять со списком стран, откуда в Евросоюз не требуются титры.

В пределах европейского континента мне таких вариантов не приходит в голову (чтобы и из России были не нужны титры в эту страну, и потом из этой страны в Евросоюз). И в любом случае нужно проводить ревакцинацию в "зелёной" стране с ожиданием карантина (а потом уже получать документы на выезд), чтобы прививка считалась как бы местной.

Из Беларуси был успешный кейс получения евросправки без выдержанных титров, он есть в закрепе, в разделе о ввозе.