Да, конечно, прививки можно сделать в любой ветклинике

В сертификате Ф15, который вам выдадут скорее всего для РБ в ветдепартаменте, можно прописывать страны транзита. Разве что транзит в стране все же не должен превышать 1-2 дней, как советуют обычно в "Увожу кроликов", чтобы не пришлось получать новые документы на выезд в стране транзита. Плюс стоит проверить, сколько дней с момента выдачи действует Ф15/осмотр официальных ветслужб, по мнению сельхозслужбы РБ, и иметь эти сроки в виду при планировании получения сертификата и перемещений (но если укладываетесь в 5 дней с момента начала путешествия, то в любом случае должно быть ок по срокам)

А, тогда оформляете сертификат на Кипре

Но вы напишите в ваше отделение ветдепартамента на Кипре прямо заранее с описанием всего маршрута. Вдруг есть какие-то нюансы при перемещениях между странами ЕС по тому же сертификату (и нужен, например, ещё европаспорт отдельно, если у вас его нет, или что-то ещё)

Лучше записаться заранее, так как у вас ещё и сложный маршрут, и заодно уточнить, надо ли вам прежде пройти осмотр и получить отметку об обработках у частного ветеринара (у разных отделений могут быть свои требования). Плюс в Грузию, по-моему, нужны обработки (лучше перепроверить их требования), поэтому лучше, наверно, в любом случае получить о них отметку, чтобы нигде не придрались. Отметку ставят у частного ветеринара, ветдепартамент потом использует эти данные для выдачи сертификата; если обработки требуются, они делаются не раньше чем за 5 суток до ввоза в страну. Но клиники на Кипре из-за приколов с их представлениями о внутренних перевозках по ЕС могут вам раньше чем за 2-3 дня до вылета не поставить отметку об осмотре и обработках, поэтому у конкретной клиники лучше тоже заранее уточнять их условия.

Чтобы было понятнее, о чем я, вот недавняя история с заморочками с сертификатом для РФ в Ларнаке (форма сертификата та же, что и для РБ): https://t.me/cyanimals/209213