В России нет обязательной регистрации собак, поэтому информация из баз чипов ни на что не влияет. В имеющийся ветпаспорт вы можете вписать себя в качестве хозяина и потом на себя же оформлять справки на вывоз.

В случае перевозки главное - справка на вывоз (в вашем случае евросправка) и данные о чипе и прививках из ветпаспорта, а данные хозяина (= перевозчика) могут быть вписаны хоть сразу латиницей, где есть место в ветпаспорте.

В ЕС (на Кипре) вы сможете сделать европаспорт, когда соберётесь делать ревакцинацию от бешенства. И с ним спокойно путешествовать по ЕС

Клещи есть везде, где тепло, поэтому обрабатывать от них и от блох на Кипре нужно, по сути, круглый год.

На Кипре (и во многих других морских регионах) есть ещё такая болезнь, как лейшманиоз, который переносится комарами. От него очень желательно делать прививку (и защищаться дополнительно репеллентами).