Так как Казахстан входит в ЕАЭС, требования, очевидно, такие же, как для ввоза в РФ: прививка от бешенства и комплексная, 20 дней карантина после них (если прививки первичные или предыдущие были сделаны более 12 месяцев назад), предполетный осмотр и ветсертификат для стран ЕАЭС (порядок его получения на примере РФ можно посмотреть в конце закрепа). Если будете потом возвращаться на Кипр, то из Казахстана на обратном пути понадобятся титры к бешенству.

Можно ещё посмотреть информацию по Казахстану и истории в большом чате по перевозке животных "Увожу кроликов".