Вопрос не в том, с каким паспортом лучше, а в том, что с европаспортом (при условии, что прививка от бешенства, стоящая в нем, была сделана на территории ЕС) не нужно оформлять отдельного ветсертификата про перемещениях внутри ЕС и в некоторые другие страны типа Сербии, Черногории (В Россию и Грузию тоже в принципе ездят просто с европаспортом и отметкой об осмотре в нем).

А в остальные страны обычно нужно ещё оформлять отдельный сертификат здоровья, только из ЕС все равно легче его сделать, потому что в таком случае животному обычно не требуются титры (как, например, в некоторые страны при выезде из РФ). Титры только могут понадобится на возврат в ЕС из "красных" по бешенству стран.

Смысл, конечно, есть, если животное надолго в ЕС) так как прививку от бешенства для его валидности нужно обязательно делать внутри ЕС.

Вот недавняя история, можно в личке у автора истории попросить контакты сотрудниц грузинских авиалиний: https://t.me/cyanimals/128779

Уведомлять аэропорт не надо, на выходе могут посмотреть европаспорт с отметкой о предполетном осмотре. Истории по тегам Испания, Барселона можно почитать здесь.