Да, по правилам вам могут без подтверждения принимающей стороны не выдать справку ещё в стране вылета, если оттуда требуются титры в ЕС

На вопросы по почте могут отвечать сутки-двое

Список вакцин от бешенства, зарегистрированных на Кипре (с сайта ветслужбы)

Только, на всякий, к ввозу животных на Кипр этот список не имеет отношения, въехать можно с любой вакциной, зарегистрированной в стране вылета.

Если вы летите по Европе, то достаточно клинического осмотра в любой ветклинике и отметки о нем в европаспорте. Для других стран есть истории получения ветсертификата в конце закрепа

В течение 90 дней можно вернуться по евросправке обратно, только за пару дней до полета пройдите предполетный осмотр в любой ветклинике.

120 дней по ней можно перемещаться внутри ЕС

Если повезёт хозяин, то должно быть достаточно сертификата здоровья, делается он в муниципальных ветслужбах (в закрепе есть истории для других стран).

А в чате "Увожу кроликов" можно почитать истории перевозки в UK, там вроде есть варианты, например, с автомобильными трансферами по каналу, чтобы не отправлять животное в карго, или с паромом.