Вы можете накануне съездить и все пройти. Собака там не нужна, только бумажки.
Мой опыт был такой: я вылетала из Домодедово, но сама я из Нижнего Новгорода. До Москвы ехали на машине. Ветконтроль можно пройти в любом аэропорту. Я прошла контроль за день до вылета в Нижнем и с этими документами приехала в Московский аэропорт.

По времени это ну минут 10, если без очереди. Вам подпишут и заверят комплект документов и все.
Еще, по поводу записи заранее. Вам нужно записаться через сайт Россельхознадзора. https://ecert.vetrf.ru/pets/export/application/create
Но лучше еще прозвоните в сам аэропорт, я так делала и они мне эту ссылку присылали, я оформляла заранее. У меня там были какие-то ошибки в заполнении, сотрудник на ветконтроле сам все поправил.

смотря что вам нужно, если какие то лежанки и прочее, то в суперхоме пока самый большой выбор, что я видела. Имхо конечно, может кто еще подскажет большие магазы.